Q.１歳未満でのはしか予防接種

国立感染症研究所のホームページに以下のような記載があります。
「周りで麻疹の流行があり、緊急避難的に0歳で任意の麻疹ワクチン接種を受けた場合、それは1回目とは数えずに、1歳になったら忘れずに、第一期の麻疹風疹混合ワクチン（MRワクチン）の接種を受けるようにしてください。0歳での接種は、1歳以上での接種に比べて、母体由来の抗体の残存などから免疫の獲得が十分ではないことがあるため、そのまま第二期の年齢まで接種を受けずにいると、途中で麻疹にかかってしまう可能性があるからです。また第二期は、同じように小学校入学前1年間（4月1日から3月31日まで）の間に麻疹風疹混合ワクチン（MRワクチン）の接種を受けて下さい。」
https://www.niid.go.jp/niid/ja/diseases/ma/655-measles/idsc/3702-measles-qa03.html#Q3-01

一歳未満で効果がないのではなく、一歳以降〜二回目の接種まで効果が持続しない恐れがあるためとあります。

もう一度保健センターに相談してはどうでしょうか。
どの小児科でも…と質問にありますが、予防接種してくれる小児科もありますから、偶然質問者さんのお宅の近くの病院が接種してくれない病院だったというだけでしょう。
国立感染症研究所からこのような発表があると病院に指導をしてもらうことはできないのでしょうか。

打っても意味がないからだと思いますよ。一歳未満だと効果があまりないので、打てたとしても気休めにしかならないです。

仮にママが麻疹の免疫を持っていたとしても、1歳以降十分な免疫を獲得できないというのが今の通説だと思います。ですから、1歳未満の麻疹罹患者が増えているのが問題になっていますよ。
あまりに憶測すぎる回答は混乱を招きます。
体力をつけても風邪ではないですから免疫がない限りは罹患する可能性が高いのでは。
私は0歳児の時に麻疹の予防接種を受けさせました。
副反応よりも麻疹にかかるリスクが大きいと考えてのことです。その後1歳でも麻疹風疹を受けました。他の飛沫感染する病気と比べても麻疹は重症化したり、数年後にウイルスが悪さをしたり、他の人に感染する力が強かったりと、同じくして議論すべき病気でないと私は思います。
保健所で「受けられる」と言われている以上、公的に一般的でないかというよりも、病院の方針として接種させないという病院が多いのでは。
1歳未満では十分な免疫がつかないともいわれていますから、1歳でも麻疹風疹を打つのは必要だと思います。
基本的には人の多いところにはいかないことが重要だと思いますよ。予防接種させたいという強い希望があるのなら、近隣だけでなく遠方の病院へも問い合わせするべきだと思います。

0歳児がいるわけではないのですが‥
1歳までは、ママの免疫があるということではないでしょうか？
予防接種をすると、副反応の心配もありますし。
副反応が怖くて予防接種をしない人もいれば、副反応のリスクより予防接種を受けたい人もいます。
ママ自身が麻疹の予防接種を2回受けているのかどうかも確認が必要ですし。
はしかだけではなく、飛沫感染する病気はたくさんあります。
手洗い、うがいだけでは防げず、人が多く集まる場所は避ける‥と言っても無理ですけどね‥
8カ月なら、うがいの変わりにこまめにお茶を飲ませるとかくらいでしょうか。
親子で体力をつけることが第一かもしれませんね。