昼と夜の区別・赤ちゃんとの遊び

もうすぐ２ヶ月になる姫ベビのママです！（≧▽≦）
だんだんと昼夜の区別をつけるようにしていきたいなーと思っているのですが、みなさんはどのようにしましたか？
よく、昼間あんまり寝させないで夜寝かす・・・とか聞くのですが、ベビが寝てる時でも起こしたほうがいいのでしょうか？？
だいたいお腹が空いたら起きて、飲み終わってベットにおくとグズるので抱っこしてると寝てしまいます。
起きていて泣かずに機嫌よくしていることはほとんど無いです（ToT)
寝てくれてたほうが家事もはかどるので寝かせていますが、それだと区別をつける訓練的にはダメなのでしょうか？？（＞＜）
それと散歩とかして外気浴するといいとも聞きますが、これからの季節は梅雨・・・。外気浴は難しい気がして・・・。
何か良い方法あったらアドバイスください！！（＞＜）
それと、この月齢のベビと遊ぶ時はなにとしてあげたらいいのでしょうか？
私は今は機嫌よく起きてる時に歌の鳴る絵本を見せて歌ったり、かわいいねぇ〜♪ちゅ〜しちゃうぞ〜♪とか話し掛けたり・・・でもすぐにネタがつきます・・・。
でも「あ〜う〜」って言いながら手足をバタバタさせてるベビを見ると何か相手してあげたいなぁ〜と思います。
何か良い遊びはありますか？
でも、昼間起きてる時間を増やす・・・って事は、みなさんの家のベビたんは、ご機嫌よく起きてる時間が多いのでしょうか？その隙に家事等しているのでしょうか？
何だか質問がゴチャゴチャになってしまってゴメンナサイ！！
アドバイス頂けたら嬉しいです♪