千羽鶴の首、折りますか？

今、義母が入院中です。
少しでも良くなって欲しいという気持ちを込めて千羽鶴を折ろうと思ったのですが、折り方について迷っています。
ネットで千羽鶴について検索したところ、「お見舞い用の千羽鶴の首は折らない」という情報を見つけたからです。「首を折る」というのは縁起が悪いので、鶴の首も折らずにまっすぐにしておくのだそうです（両方しっぽのようになりますね）。
こんなこと初めて知ったのですが、本当ですか？
義母は首の骨を折ってしまっての入院なので、余計に気になっています。