夜のオムツがオシッコでパンパン。トイレトレ始めれますか？

２歳７ヶ月の息子がいます。
トイレトレを始めるのが今の目標です。周りがうるさいので。。。私的には子供に任せるつもりです。
ただ、準備だけでもとトレーニングオムツや、トレーニングパンツは購入しています。
それと補助便座には嫌がらずに座れます。でも出ません。

で質問です。夏になったにもかかわらず、朝起きたらオムツの中はおしっこでパンパンです。原因はお風呂上りの牛乳とお茶の摂取ですが、夏なので水分補給の意味もあるし、便秘なんで少しでも水分多くとってほしいと思い、子供も日課になっています（風呂上りに自分で「牛乳いれてぇ」と言います）
この状態でトイレトレを始めても、夜中はオムツのままってことですよね。これはまだ始める時期ではないってことでしょうか？いろいろやり方があるとは思いますが、夜中のオムツも取ろうと思ったら、まだまだかかる気がします。

ちなみにお風呂上り８時半頃にオムツを履かせて、寝る前９時過ぎにオムツをみるとおしっこ出てることが多いので、寝る前にまたオムツを替えています。なので寝る前のおしっこは出ているんですが、それでも夜中オシッコをしているってことになります。ちなみに息子は、少量で頻尿です。
これをふまえると私的には始めるのは早いと思います。

ただ、この理由を述べても、義母はグダグダを能書きたれてオムツをはずせとうるさいです。。。。
どなたか教えてください。よろしくお願いいたします。