１つの銀行口座で一家の貯金を管理するのは危険？

貯金の管理、運用方法についての相談です。
現在一家の収入、支出を1つの通帳にまとめています。（三井住友銀行です）

クレジットカードの引き落としのみ、悪用されたときに勝手に引き落としになっていると怖いので、別の銀行の講座から引き落としになるようにして、毎月引き落とし金額をその口座に入金しています。

性格的に使いすぎたりすることはないので、収入と支出をひとつの通帳でチェックできるほうがわかりやすいということと、一家の貯蓄が一目でわかるということ、少なからずも利子が付く時に、残高が多いほうがたくさん利子がつくかな、と思ってそうしているのですが、1つの銀行に全ての貯金を預けているのは、危険でしょうか？（その銀行がつぶれたり･･･とか？）

また、ある程度貯金がたまったら、何らかの運用をするべきなのでしょうか？5年くらい前から投資信託とか何か始めたほうがいいんだろうなあと思いつつ何もせずに、ただ貯金だけしています。

銀行口座を一つにまとめると「口座管理が楽」、「残高により金利が異なる預金の場合少し得する」など、ご質問者様の考えるようなメリットがあります。
ご質問の銀行がつぶれた場合ですが、現在は「預金保険機構」により、銀行が倒産しても「普通預金、定期預金等の元本1000万円とその利息、決済用口座は全額」については保護されておりますその範囲内であれば、まずは安心かと思います
（注）外貨預金等保護されないものもあります。

但し、実際銀行が倒産した場合には1000万円を一度に引き出すことは困難だと思われます。倒産の状況にもよりますが、当初の引き出し額は制限される可能性が高いのでまとまった額の出費時期（入学金の支払時期等）と運悪く重なると少し困ったことになる可能性があります。そこまで考えるのであれば銀行を分けて預けるのも１つの方法です。

次に運用についてですが、一度ライフプランの作成を依頼されることをお勧めします。
プラン作成後、このまま預金のみで自分たちの将来設計が成り立つのであれば、無理に運用を考えることもないでしょう、作成後、預金のみでは厳しいのであれば何らかの対策が必要かと思います。その対策の1つに運用することが挙げられるのであれば、そこからどう運用するか？を考えるともう少し具体的に判断できるのではないでしょうか。