妊娠中の転居について（手続きなど）

現在妊娠９週目です。今日母子手帳をもらってきました。ふと思ったのですが、母子手帳は妊娠途中で引っ越しをしたら、現在のものを継続して使用するのか、新しい市で発行しなおすのか？という疑問がわいてきました。また、妊婦健診の無料チケットみたいなものも転居すると今のものは使えなくなるようで…新しい住所のある市で補助を途中からでもうけられるのでしょうか？２ヶ月後にもしかすると引っ越すかもしれなくて、気になったので質問してみました。どなたか、経験のあるかたがおられましたら、教えてください！